Что такое ускорение? Ускорение – среднее, мгновенное, тангенциальное, нормальное, полное Ускорение по направлению
При движении тел их скорости обычно меняются либо по модулю, либо по направлению, либо же одновременно как по модулю, так и по направлению.
Если бросить камень под углом к горизонту, то его скорость будет меняться и по модулю, и по направлению.
Изменение скорости тела может происходить как очень быстро (движение пули в канале ствола при выстреле из винтовки), так и сравнительно медленно (движение поезда при его отправлении). Чтобы уметь находить скорость в любой момент времени, необходимо ввести величину, характеризующую быстроту изменения скорости. Эту величину называют ускорением .
– это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:
где – вектор ускорения .
Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ = - 0 (здесь 0 – это начальная скорость, то есть скорость, с которой тело начало ускоряться).
В момент времени t1 (см. рис 1.8) тело имеет скорость 0 . В момент времени t2 тело имеет скорость. Согласно правилу вычитания векторов найдём вектор изменения скорости Δ = - 0 . Тогда определить ускорение можно так:
Рис. 1.8. Среднее ускорение.
В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть
Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.
Ско́рость в физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта; по определению, равна производной радиус-вектора точки по времени.
Скорость в широком смысле - быстроту изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора) в зависимости от другой (чаще подразумеваются изменения во времени, но также в пространстве или любой другой). Так, например, говорят об угловой скорости, скорости изменения температуры, скорости химической реакции, групповой скорости, скорости соединения и т. д. Математически «быстрота изменения» характеризуется производной рассматриваемой величины.
Ускоре́ние обозначается - быстрота изменения скорости, то есть первая производная от скорости по времени,векторная величина, показывающая, на сколько изменяется вектор скорости тела при его движении за единицу времени:
ускорение является вектором, то есть учитывает не только изменение величины скорости (модуля векторной величины), но и изменение её направления. В частности, ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью, не равно нулю; тело испытывает постоянное по модулю (и переменное по направлению) ускорение, направленное к центру окружности (центростремительное ускорение).
Единицей ускорения в Международной системе единиц (СИ) служит метр в секунду за секунду (m/s2, м/с2),
Производная ускорения по времени, то есть величина, характеризующая скорость изменения ускорения, называется рывок:
Где - вектор рывка.
Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.
Среднее ускорение
Среднее ускорение> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:
где – вектор ускорения.
Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ = - 0 (здесь 0 – это начальная скорость, то есть скорость, с которой тело начало ускоряться).
В момент времени t1 (см. рис 1.8) тело имеет скорость 0. В момент времени t2 тело имеет скорость . Согласно правилу вычитания векторов найдём вектор изменения скорости Δ = - 0. Тогда определить ускорение можно так:
В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть
Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с2, то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.
Мгновенное ускорение
Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:
Направление ускорения также совпадает с направлением изменения скорости Δ при очень малых значениях промежутка времени, за который происходит изменение скорости. Вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие оси координат в данной системе отсчёта (проекциями аХ, aY, aZ).
При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть
а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости 2.
Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть
то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости 2. Иначе говоря, в данном случае происходитзамедление движения, при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.
Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).
> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:
Рис. 1.8. Среднее ускорение. В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть
Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.
Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:
При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть
V 2 > v 1
а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости
Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть
V 2 < v 1
то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.
При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.
Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
Определение
Ускорением тела называют векторную величину показывающую быстроту изменения скорости движения тела. Обозначают ускорение как $\overline{a}$.
Среднее ускорение тела
Допустим, что в моменты времени $t$ и $t+\Delta t$ скорости равны $\overline{v}(t)$ и $\overline{v}(t+\Delta t)$. Получается, что за время $\Delta t$ скорость изменяется на величину:
\[\Delta \overline{v}=\overline{v}\left(t+\Delta t\right)-\overline{v}\left(t\right)\left(1\right),\]
тогда среднее ускорение тела равно:
\[\left\langle \overline{a}\right\rangle \left(t,\ t+\Delta t\right)=\frac{\Delta \overline{v}}{\Delta t}\left(2\right).\]
Мгновенное ускорение тела
Устремим промежуток времени $\Delta t$ к нулю, тогда из уравнения (2) получим:
\[\overline{a}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{v}}{\Delta t}=\frac{d\overline{v}}{dt}\left(3\right).\ }\]
Формула (3) является определением мгновенного ускорения. Принимая во внимание, что в декартовой системе координат:
\[\overline{r}=x\left(t\right)\overline{i}+y\left(t\right)\overline{j}+z\left(t\right)\overline{k}\left(4\right),\ а\ \overline{v}=\frac{d\overline{r}}{dt}(5)\]
получаем:
\[\overline{a}=\overline{i}\frac{d^2x}{dt^2}+\overline{j}\frac{d^2y}{dt^2}+\overline{k}\frac{d^2z}{dt^2}=\frac{d^2\overline{r}}{dt^2}\left(6\right).\]
Из выражения (6) следует, что проекции ускорения на оси координат (X,Y,Z) равны:
\[\left\{ \begin{array}{c} a_x=\frac{d^2x}{dt^2}, \\ a_y=\frac{d^2y}{dt^2} \\ a_z=\frac{d^2z}{dt^2}. \end{array} \right.(7),\]
При этом модуль ускорения найдем в соответствии с выражением:
Для выяснения вопроса о направлении ускорения движения тела Вектор скорости представим как:
\[\overline{v}=v\overline{\tau }\left(8\right),\]
где $v$ - модуль скорости тела; $\overline{\tau }$ - единичный вектор касательный к траектории движения материальной точки. Подставим выражение (8) в определение мгновенной скорости, получим:
\[\overline{a}={\frac{d\overline{v}}{dt} =\frac{d}{dt}\left(v\overline{\tau }\right)=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}+v\frac{d\overline{\tau }}{dt}\left(9\right).\ }\]
Единичный касательный вектор $\overline{\tau }$ определяется точкой траектории, которая в свою очередь характеризуется расстоянием ($s$) от начальной точки. Значит вектор $\overline{\tau }$ - это функция от $s$:
\[\overline{\tau }=\overline{\tau }\left(s\right)\left(10\right).\]
Параметр $s$ - функция от времени. Получаем:
\[\frac{d\overline{\tau }}{dt}=\frac{d\overline{\tau }}{ds}\frac{ds}{dt}\left(11\right),\]
где вектор $\overline{\tau }$ по модулю не изменяется. Это означает, что вектор $\frac{d\overline{\tau }}{ds}$ перпендикулярен $\overline{\tau }$. Вектор $\overline{\tau }{\rm \ }$ является касательным к траектории, $\frac{d\overline{\tau }}{ds}$ перпендикулярен к этой касательной, то есть, направлен по нормали, которая называется главной. Единичный вектор в направлении главной нормали обозначим $\overline{n}$.
Величина $\left|\frac{d\overline{\tau }}{ds}\right|=\frac{1}{R}$, где $R$ - радиус кривизны траектории.
И так мы получили:
\[\frac{d\overline{\tau }}{ds}=\frac{\overline{n}}{R}\left(12\right).\]
Принимая во внимание, что $\frac{ds}{dt}=v$, из (9) можно записать следующее:
\[\overline{a}=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}+v\frac{\overline{n}}{R}v=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}+\frac{v^2}{R}\overline{n}\left(13\right).\]
Выражение (13) показывает, что полное ускорение тела состоит из двух компонент, которые взаимно перпендикулярны. Тангенциального ускорения (${\overline{a}}_{\tau }$), направленного по касательной к траектории движения и равного:
\[{\overline{a}}_{\tau }=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}(14)\]
и нормального (центростремительного) ускорения (${\overline{a}}_n$), направленного перпендикулярно касательной к траектории в точке расположения тела по главной нормали (к центру кривизны траектории) и равного:
\[{\overline{a}}_n=\frac{v^2}{R}\overline{n}\left(15\right).\]
Модуль полного ускорения равен:
Единицей измерения ускорения в Международной системе единиц (СИ) является метр на секунду в квадрате:
\[\left=\frac{м}{с^2}.\]
Прямолинейное движение тела
Если траекторией движения материальной точки является прямая, то вектор ускорения направлен вдоль той же прямой, что и вектор скорости. Изменяется только величина скорости.
Переменное движение называют ускоренным, если скорость материальной точки постоянно увеличивается по модулю. При этом $a>0$, векторы ускорения и скорости сонаправлены.
Если скорость по модулю убывает, то движение называют замедленным ($a
Движение материальной точки называют равнопеременным и прямолинейным, если движение происходит с постоянным ускорением ($\overline{a}=const$). При равнопеременном движении мгновенная скорость ($\overline{v}$) и ускорение материальной точки связаны выражением:
\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\ \left(3\right),\]
где ${\overline{v}}_0$ - скорость тела в начальный момент времени.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Движения двух материальных точек заданы следующими кинематическими уравнениями: $x_1=A+Bt-Ct^2$ и $x_2=D+Et+Ft^2,$ чему равны ускорения этих двух точек в момент времени, когда равны их скорости, если $A$, B,C,D,E.F - постоянные большие нуля.
Решение: Найдем ускорение первой материальной точки:
\[{a_1=a}_{x1}=\frac{d^2x_1}{dt^2}=\frac{d^2}{dt^2}\left(A+Bt-Ct^2\right)=-2С\ (\frac{м}{с^2}).\]
У второй материальной точки ускорение будет равно:
\[{a_2=a}_{x2}=\frac{d^2x_2}{dt^2}=\frac{d^2}{dt^2}\left(D+Et+Ft^2\right)=2F\left(\frac{м}{с^2}\right).\]
Мы получили, что точки движутся с постоянными ускорениями, которые не зависят от времени, поэтому момент времени, в который скорости равны, искать не обязательно.
Ответ: $a_1=-2С\frac{м}{с^2}$, $a_2=2F\frac{м}{с^2}$
Пример 2
Задание: Движение материальной точки задано уравнением: $\overline{r}\left(t\right)=A\left(\overline{i}{\cos \left(\omega t\right)+\overline{j}{\sin \left(\omega t\right)\ }\ }\right),$ где $A$ и $\omega $ - постоянные величины. Начертите траекторию движения точки, изобразите на ней вектор ускорения этой точки. Каков модуль центростремительного ускорения ($a_n$) точки в этом случае?
Решение: Рассмотрим уравнение движения нашей точки:
\[\overline{r}\left(t\right)=A\left(\overline{i}{\cos \left(\omega t\right)+\overline{j}{\sin \left(\omega t\right)\ }\ }\right)\ \left(2.1\right).\]
В координатной записи уравнению (2.1) соответствует система уравнений:
\[\left\{ \begin{array}{c} x\left(t\right)=A{\rm cos}\left(\omega t\right), \\ y(t)=A{\sin \left(\omega t\right)\ } \end{array} \left(2.2\right).\right.\]
Возведем в квадрат каждое уравнение системы (2.2) и сложим их:
Мы получили уравнение окружности радиуса $A$ (рис.1).
Величину центростремительного ускорения, учитывая, что радиус траектории равен А, найдем как:
Проекции скорости на оси координат равны:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=\frac{dx\left(t\right)}{dt}=-A\ \omega \ {\rm sin}\left(\omega t\right), \\ v_y=\frac{dy\left(t\right)}{dt}=A{\omega \ \cos \left(\omega t\right)\ } \end{array} \left(2.5\right).\right.\]
Величина скорости равна:
Подставим результат (2.6) в (2.4), нормальное ускорение равно:
Легко показать, что движение точки в нашем случае является равномерным движением по окружности и полное ускорение точки равно центростремительному ускорению. Для этого можно взять производную от проекций скоростей (2.5) по времени и используя выражение:
получить:
Ответ: $a_n=A{\omega }^2$
Поступательное и вращательное движения
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями.
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными
Скорость
- это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Скорость так же
- это сумма начальной скорости и ускорения умноженного на время.
Скорость
- произведение угловой скорости на радиус окружности.
v=S/t
v=v 0 +a*t
v=ωR
Ускорение тела, при равноускоренном движении - величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло.
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.
Направление вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов :
Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:
v =ωR
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
Рис.3
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 3), при замедленном - противонаправлен ему (рис. 4).
Рис.4
Тангенциальная составляющая ускорения a τ =dv/dt , v = ωR и
Нормальная составляющая ускорения
Значит, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение а τ , нормальное ускорение а n) и угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:
s = Rφ, v = Rω, а τ = R?, a n = ω 2 R.
В случае равнопеременного движения точки по окружности (ω=const)
ω = ω 0 ± ?t, φ = ω 0 t ± ?t 2 /2,
где ω 0 - начальная угловая скорость.