Колебательный контур. Формула Томсона. SA Колебательный контур Уравнение томпсона

Тип занятия : урок первичного ознакомления с материалом и практического применения знаний и умений.

Продолжительность занятия: 45 минут.

Цели:

Дидактическая – обобщить и систематизировать знания о физических процессах, происходящих в электромагнитном колебательном контуре

создать условия для усвоения нового материала, используя активные методы обучения

Образовательна я – показать универсальных характер теории колебаний;

Развивающая – развивать когнитивные процессы учащихся, основываясь на применении научного метода познания: аналогичности и моделировании; прогнозировании ситуации; выработать у школьников приёмы эффективной переработки учебной информации, продолжить формирование коммуникативных компетентностей.

Воспитательная – продолжить формирование представлений о взаимосвязи явлений природы и единой физической картине мира

Задачи урока:

1. Образовательные

ü сформулировать зависимость периода колебательного контура от его характеристик: емкости и индуктивности

ü изучить приемы решения типичных задач на « Колебательный контур»

2. Развивающие

ü продолжить формирование умений сравнивать явления, делать выводы и обобщения на основе эксперимента

ü работать над формированием умений анализировать свойства и явления на основе знаний.

3. Воспитывающие

ü показать значение опытных фактов и эксперимента в жизни человека.

ü раскрыть значение накопления фактов и их уточнений при познавании явлений.

ü познакомить учащихся с взаимосвязью и обусловленностью явлений окружающего мира.

ТСО: компьютер, проектор, ИАД

Предварительная подготовка:

- индивидуальные оценочные листы - 24шт

- маршрутные листы(цветные) – 4шт

Технологическая карта урока:

Основным устройством, определяющим рабочую частоту любого генератора переменного тока, является колебательный контур. Колебательный контур (рис.1) состоит из катушки индуктивности L (рассмотрим идеальный случай, когда катушка не обладает омическим сопротивлением) и конденсатора C и называется замкнутым. Характеристикой катушки является индуктивность, она обозначается L и измеряется в Генри (Гн), конденсатор характеризуют емкостью C , которую измеряют в фарадах (Ф).

Пусть в начальный момент времени конденсатор заряжен так (рис.1), что на одной из его обкладок имеется заряд +Q 0 , а на другой - заряд -Q 0 . При этом между пластинами конденсатора образуется электрическое поле, обладающее энергией

где - амплитудное (максимальное) напряжение или разность потенциалов на обкладках конденсатора.

После замыкания контура конденсатор начинает разряжаться и по цепи пойдет электрический ток (рис.2), величина которого увеличивается от нуля до максимального значения . Так как в цепи протекает переменный по величине ток, то в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, которая препятствует разрядке конденсатора. Поэтому процесс разрядки конденсатора происходит не мгновенно, а постепенно. В каждый момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора

(где - заряд конденсатора в данный момент времени) равна разности потенциалов на катушке, т.е. равна ЭДС самоиндукции

Когда конденсатор полностью разрядится и , сила тока в катушке достигнет максимального значения (рис.3). Индукция магнитного поля катушки в этот момент также максимальна, а энергия магнитного поля будет равна

Затем сила тока начинает уменьшаться, а заряд будет накапливаться на пластинах конденсатора (рис.4). Когда сила тока уменьшится до нуля, заряд конденсатора достигнет максимального значения Q 0 , но обкладка, прежде заряженная положительно, теперь будет заряжена отрицательно (рис. 5). Затем конденсатор вновь начинает разряжаться, причем ток в цепи потечет в противоположном направлении.

Так процесс перетекания заряда с одной обкладки конденсатора на другую через катушку индуктивности повторяется снова и снова. Говорят, что в контуре происходят электромагнитные колебания . Этот процесс связан не только с колебаниями величины заряда и напряжения на конденсаторе, силы тока в катушке, но и перекачкой энергии из электрического поля в магнитное и обратно.

Перезарядка конденсатора до максимального напряжения произойдет только в том случае, когда в колебательном контуре нет потерь энергии. Такой контур называется идеальным.

В реальных контурах имеют место следующие потери энергии:

1) тепловые потери, т.к. R ¹ 0;

2) потери в диэлектрике конденсатора;

3) гистерезисные потери в сердечнике катушке;

4) потери на излучение и др. Если пренебречь этими потерями энергии, то можно написать, что , т.е.

Колебания, происходящие в идеальном колебательном контуре, в котором выполняется это условие, называются свободными , или собственными , колебаниями контура.

В этом случае напряжение U (и заряд Q ) на конденсаторе изменяется по гармоническому закону:

где n - собственная частота колебательного контура, w 0 = 2pn - собственная (круговая) частота колебательного контура. Частота электромагнитных колебаний в контуре определяется как

Период T - время, в течение которого совершается одно полное колебание напряжения на конденсаторе и тока в контуре, определяется формулой Томсона

Сила тока в контуре также изменяется по гармоническому закону, но отстает от напряжения по фазе на . Поэтому зависимость силы тока в цепи от времени будет иметь вид

На рис.6 представлены графики изменения напряжения U на конденсаторе и тока I в катушке для идеального колебательного контура.

В реальном контуре энергия с каждым колебанием будет убывать. Амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в контуре будут убывать, такие колебания называются затухающими. В задающих генераторах их применять нельзя, т.к. прибор будет работать в лучшем случае в импульсном режиме.

Для получения незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии при самых разнообразных рабочих частотах приборов, в том числе и применяемых в медицине.

Урок № 48-169 Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре. Формула Томпсона. Колебания - движения или состояния, повто­ряющиеся во времени. Электромагнитные колебания - это колебания электрических и магнитных полей, которые сопро­ вождаются периодическим измене­ нием заряда, тока и напряжения. Колеба­тельный контур - это система, состоящая из катушки индуктив­ности и конденсатора (рис. а). Если конденсатор зарядить и замк­нуть на катушку, то по катушке потечет ток (рис. б). Когда кон­денсатор разрядится, ток в цепи не прекратится из-за самоиндук­ции в катушке. Индукционный ток, в соответствии с правилом Ленца, будет течь в ту же сторону и перезарядит конденсатор (рис. в). Ток в данном направлении прекратится, и процесс повторится в обратном направлении (рис. г).

Таким образом, в колеба­ тельном контуре происхо­ дят электромагнитные колеба­ ния из-за превращения энергии электрического поля конденсато­ ра ( W Э =
) в энергию магнит­ного поля катушки с током (W М =
), и наоборот .

Гармонические колебания - периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса.

Уравнение, описывающее свободные электромагнитные колебания, принимает вид

q"= - ω 0 2 q (q"- вторая производная.

Основные характеристики колебательного движения:

Период колебаний - минимальный промежуток времени Т, через который процесс полностью повторяется.

Амплитуда гармонических колебаний - модуль наибольшего значения колеблющейся величины.

Зная период, можно определить частоту колебаний, т. е. число колебаний в единицу времени, например в секунду. Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за 1 с νопределяется так: ν = 1/Т.

Напомним, что в Международной системе единиц (СИ) частота колебаний равна единице, если за 1 с совершается одно колебание. Единица частоты называется герцем (сокращенно: Гц) в честь немецкого физика Генриха Ге р ц а.

Через промежуток времени, равный периоду Т, т. е. при увеличении аргумента косинуса на ω 0 Т, значение заряда повторяется и косинус принимает прежнее значение. Из курса математики известно, что наименьший период косинуса равен 2л. Следовательно, ω 0 Т =2π, откуда ω 0 = =2πν Таким образом, величина ω 0 - это число колебаний, но не за 1 с, а за 2л с. Она называется циклической или круговой частотой.

Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы. Часто в дальнейшем для краткости мы будем называть циклическую частоту просто частотой. Отличить циклическую частоту ω 0 от частоты ν можно по обозначениям.

По аналогии с решением дифференциального уравнения для механической колебательной систе­мы циклическая частота свободных электриче­ ских колебаний равна:ω 0 =

Период свободных колебаний в контуре равен: Т==2π
- формула Томсона.

Фаза колебаний (от греческого слова phasis – появление, ступень развития какого-либо явления) – величина φ, стоящая под знаком косинуса или синуса. Выражается фаза в угловых единицах – радианах. Фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени.

Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут отличаться друг от друга фазами.

Так как ω 0 = , то φ= ω 0 Т=2π . Отношение показывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому значению времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в радианах. Так, по прошествии времени t= (четверти периода) φ=, по прошествии половины периода φ = π, по прошествии целого периода φ=2π и т.д.Можно изобразить на графике зависимость

заряда не от времени, а от фазы. На рисунке показана та же косинусоида, что и на предыдущем, но на горизонтальной оси отложены вместо времени

различные значения фазы φ.

Соответствие между механическими и электрическими величинами в колебательных процессах

Механические величины

942(932). Начальный заряд, сообщенный конденсатору колебательного контура, уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменились: а) амплитуда напряжения; б) амплитуда силы то­ка;

в) суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки?

943(933). При увеличении напряжения на конденсаторе колебательного контура на 20 В амплитуда силы тока увели­чилась в 2 раза. Найти начальное напряжение.

945(935). Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 400 пФ и катушки индуктивностью L = 10 мГн. Найти амплитуду колебаний силы тока I т , если амплитуда колебаний напряжения U т = 500 В.

952(942). Через какое время (в долях периода t/T) на кон­денсаторе колебательного контура впервые будет заряд, рав­ный половине амплитудного значения?

957(947). Катушку какой индуктивности надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости конденсатора 50 пФ получить частоту свободных колебаний 10 МГц?

Колебательный контур. Период свободных колебаний.

1. После того как конденсатору колебательного контура был сообщён заряд q = 10 -5 Кл, в контуре возникли затухающие колебания. Какое количество теплоты выделится в контуре к тому времени, когда колебания в нём полностью затухнут? Ёмкость конденсатора С=0,01мкФ.

2. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 400нФ и катушки индуктивностью 9мкГн. Каков период собственных колебаний контура?

3. Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при ёмкости 100пФ получить период собственных колебаний 2∙ 10 -6 с.

4. Сравнить жесткости пружин k1/k2 двух маятников с массами грузов соответственно 200г и 400г, если периоды их колебаний равны.

5. Под действием неподвижно висящего груза на пружине её удлинение было равно 6,4см. Затем груз оттянули и отпустили, вследствие чего он начал колебаться. Определить период этих колебаний.

6. К пружине подвесили груз, вывели его из положения равновесия и отпустили. Груз начал колебаться с периодом 0,5с. Определите удлинение пружины после прекращения колебаний. Массу пружины не учитывать.

Экзаменационные вопросы:

1. Какое из приведенных ниже выражений определяет период свободных колебаний в колебательном контуре? А. ; Б.
; В.
; Г.
; Д. 2 .

2. Какое из приведенных ниже выражений определяет циклическую частоту свободных колебаний в колебательном контуре? А. Б.
В.
Г.
Д. 2π

3. На рисунке представлен график зависимости координаты Х тела, совершающего гармонические колебания вдоль оси ох, от времени. Чему равен период колебания тела?

4. На рисунке изображён профиль волны в определённый момент времени. Чему равна её длина?

5. На рисунке представлен график зависимости силы тока через катушку колебательного контура от времени. Чему равен период колебаний силы тока? А. 0,4 с. Б. 0,3 с. В. 0,2 с. Г. 0,1 с.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

А. 0,2 м. Б. 0,4 м. В. 4 м. Г. 8 м. Д. 12 м.

7. Электрические колебания в колебательном контуре заданы уравнением q =10 -2 ∙ cos 20t (Кл).

Чему равна амплитуда колебаний заряда?

А . 10 -2 Кл. Б.cos 20t Кл. В.20t Кл. Г.20 Кл. Д.Среди ответов А-Г нет правильного.

8. При гармонических колебаниях вдоль оси ОХ координата тела изменяется по закону X=0,2cos(5t+). Чему равна амплитуда колебаний тела?

А. Xм; Б. 0,2 м;В. сos(5t+) м; (5t+)м; Д.м

9. Частота колебаний источника волны 0,2 с -1 скорость распространения волны 10 м/с. Чему равна, длина волны? А. 0,02 м. Б. 2 м. В. 50 м.

Г. По условию задачи нельзя определить длину волны. Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

10. Длина волны 40 м, скорость распространения 20 м/с. Чему равна частота колебаний источника волн?

А. 0,5 с -1 . Б. 2 с -1 . В. 800 с -1 .

Г. По условию задачи нельзя определить частоту колебания источника волн.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

3

• Электромагнитные колебания – это периодические изменения со временем электрических и магнитных величин в электрической цепи.

• Свободными называются такие колебания , которые возникают в замкнутой системе вследствие отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия.

При колебаниях происходит непрерывный процесс превращения энергии системы из одной формы в другую. В случае колебаний электромагнитного поля обмен может идти только между электрической и магнитной составляющей этого поля. Простейшей системой, где может происходить этот процесс, является колебательный контур .

• Идеальный колебательный контур (LC-контур ) - электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C .

В отличие от реального колебательного контура, который обладает электрическим сопротивлением R , электрическое сопротивление идеального контура всегда равна нулю. Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального контура.

На рисунке 1 изображена схема идеального колебательного контура.

Энергии контура

Полная энергия колебательного контура

\(W=W_{e} + W_{m}, \; \; \; W_{e} =\dfrac{C\cdot u^{2} }{2} = \dfrac{q^{2} }{2C}, \; \; \; W_{m} =\dfrac{L\cdot i^{2}}{2},\)

Где W e - энергия электрического поля колебательного контура в данный момент времени, С - электроемкость конденсатора, u - значение напряжения на конденсаторе в данный момент времени, q - значение заряда конденсатора в данный момент времени, W m - энергия магнитного поля колебательного контура в данный момент времени, L - индуктивность катушки, i -значение силы тока в катушке в данный момент времени.

Процессы в колебательном контуре

Рассмотрим процессы, которые возникают в колебательном контуре.

Для выведения контура из положения равновесия зарядим конденсатор так, что на его обкладках будет заряд Q m (рис. 2, положение 1 ). С учетом уравнения \(U_{m}=\dfrac{Q_{m}}{C}\) находим значение напряжения на конденсаторе. Тока в цепи в этом момент времени нет, т.е. i = 0.

После замыкания ключа под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. Конденсатор в это время начнет разряжаться, т.к. электроны, создающие ток, (Напоминаю, что за направление тока принято направление движения положительных зарядов) уходят с отрицательной обкладки конденсатора и приходят на положительную (см. рис. 2, положение 2 ). Вместе с зарядом q будет уменьшаться и напряжение u \(\left(u = \dfrac{q}{C} \right).\) При увеличении силы тока через катушку возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению силы тока. Вследствие этого, сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.

Заряд конденсатора q уменьшается и в некоторый момент времени становится равным нулю (q = 0, u = 0), сила тока в катушке достигнет некоторого значения I m (см. рис. 2, положение 3 ).

Без электрического поля конденсатора (и сопротивления) электроны, создающие ток, продолжают свое движение по инерции. При этом электроны, приходящие на нейтральную обкладку конденсатора, сообщают ей отрицательный заряд, электроны, уходящие с нейтральной обкладки, сообщают ей положительный заряд. На конденсаторе начинает появляться заряд q (и напряжение u ), но противоположного знака, т.е. конденсатор перезаряжается. Теперь новое электрическое поле конденсатора препятствует движению электронов, поэтому сила тока i начинает убывать (см. рис. 2, положение 4 ). Опять же это происходит не мгновенно, поскольку теперь ЭДС самоиндукции стремится скомпенсировать уменьшение тока и «поддерживает» его. А значение силы тока I m (в положении 3 ) оказывается максимальным значением силы тока в контуре.

И снова под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, но направленный в противоположную сторону, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. А конденсатор в это время будет разряжаться (см. рис. 2, положение 6 )до нуля (см. рис. 2, положение 7 ). И так далее.

Так как заряд на конденсаторе q (и напряжение u ) определяет его энергию электрического поля W e \(\left(W_{e}=\dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{C \cdot u^{2}}{2} \right),\) а сила тока в катушке i - энергию магнитного поля Wm \(\left(W_{m}=\dfrac{L \cdot i^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменениями заряда, напряжения и силы тока, будут изменяться и энергии.

Обозначения в таблице:

\(W_{e\, \max } =\dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot U_{m}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 2} =\dfrac{q_{2}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 4} =\dfrac{q_{4}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 6} =\dfrac{q_{6}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{6}^{2} }{2},\)

\(W_{m\; \max } =\dfrac{L\cdot I_{m}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m2} =\dfrac{L\cdot i_{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m4} =\dfrac{L\cdot i_{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m6} =\dfrac{L\cdot i_{6}^{2} }{2}.\)

Полная энергия идеального колебательного контура сохраняется с течением времени, поскольку в нем потерь энергии (нет сопротивления). Тогда

\(W=W_{e\, \max } = W_{m\, \max } = W_{e2} + W_{m2} = W_{e4} +W_{m4} = ...\)

Таким образом, в идеальном LC -контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока i , заряда q и напряжения u , причем полная энергия контура при этом будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания .

• Свободные электромагнитные колебания в контуре - это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением ЭДС самоиндукции в катушке, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд конденсатора q и сила тока в катушке i достигают своих максимальных значений Q m и I m в различные моменты времени.

Свободные электромагнитные колебания в контуре происходят по гармоническому закону:

\(q=Q_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; u=U_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; i=I_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{2} \right).\)

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC -контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Период свободных электромагнитных колебаний в LC -контуре определяется по формуле Томсона:

\(T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \;\;\; \omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}.\)

Сточки зрения механической аналогии, идеальному колебательному контурусоответствует пружинный маятник без трения, а реальному - с трением. Вследствиедействия сил трения колебания пружинного маятника затухают с течением времени.

*Вывод формулы Томсона

Поскольку полная энергия идеального LC -контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство

\(W=\dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =\dfrac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} =\dfrac{q^{2} }{2C} +\dfrac{L\cdot i^{2} }{2} ={\rm const}.\)

Получим уравнение колебаний в LC -контуре, используя закон сохранения энергии. Продифференцировав выражение для его полной энергии по времени, с учетом того, что

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

получаем уравнение, описывающее свободные колебания в идеальном контуре:

\(\left(\dfrac{q^{2} }{2C} +\dfrac{L\cdot i^{2} }{2} \right)^{{"} } =\dfrac{q}{C} \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac{q}{C} \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac{q}{C} +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac{1}{L\cdot C} \cdot q=0.\)

Переписав его в виде:

\(q""+\omega ^{2} \cdot q=0,\)

замечаем, что это - уравнение гармонических колебаний с циклической частотой

\(\omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C} }.\)

Соответственно период рассматриваемых колебаний

\(T=\dfrac{2\pi }{\omega } =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}.\)

Литература

1. Жилко, В.В. Физика: учеб. пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. - Минск: Нар. Асвета, 2009. - С. 39-43.

«Затухающие колебания» - 26.1. Свободные затухающие механические колебания; 26.2. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания; 26.26. Автоколебания; Сегодня: суббота, 6 августа 2011 г. Лекция 26. Рис. 26.1.

«Гармонические колебания» - Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д. Рисунок 4. Колебания вида. (2.2.4). ?1 – фаза 1-го колебания. - Результирующее колебание, тоже гармоническое, с частотой?: Проекция кругового движения на ось у, также совершает гармоническое колебание. Рисунок 3.

«Частота колебаний» - Отражение звука. Скорость звука в различных средах, м/с (при t = 20°C). Механические колебания с частотой менее 20Гц называются инфразвуком. Разобрать звук как явление. Цели проекта. Источники звука. Скорость звука зависит от свойств среды, в которой распространяется звук. Чем определяется тембр звука?

«Механические колебания и волны» - Свойства волн. Виды волн. Математический маятник. Период свободных колебаний математического маятника. Превращение энергии. Законы отражения. Пружинный маятник. Наибольшей чувствительностью органы слуха обладают к звукам с частотами от 700 до 6000 Гц. Свободные Вынужденные Автоколебания.

«Механические колебания» - Гармонические. Упругие волны – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Математический маятник. Волны. Длина волны (?) – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Вынужденные. Вынужденные колебания. График математического маятника. Волны - распространение колебаний в пространстве с течением времени.

«Механический резонанс» - Амплитуда вынужденных колебаний. Государственное общеобразовательное учреждение Гимназия № 363 Фрунзенского района. Разрушительная роль резонанса Мосты. Резонанс в технике. Томас Юнг. 1. Физические основы резонанса Вынужденные колебания. Механический язычковый частотомер - прибор для измерения частоты колебаний.

Всего в теме 10 презентаций