طرق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية آلة حاسبة لتحليل عدد إلى عوامل أولية. ماذا يعني تحليل عدد ما إلى عوامل أولية؟

كل عدد طبيعي، باستثناء واحد، له قواسمان أو أكثر. على سبيل المثال، الرقم 7 قابل للقسمة بدون باقي فقط على 1 و 7، أي أن له مقسومين. والرقم 8 له قواسم 1، 2، 4، 8، أي ما يصل إلى 4 قواسم في وقت واحد.

ما هو الفرق بين الأعداد الأولية والمركبة؟

تسمى الأرقام التي تحتوي على أكثر من مقسومين أرقامًا مركبة. الأرقام التي لها مقسومان فقط: واحد والرقم نفسه تسمى الأعداد الأولية.

يحتوي الرقم 1 على قسم واحد فقط، وهو الرقم نفسه. الواحد ليس عددًا أوليًا ولا عددًا مركبًا.

• على سبيل المثال، الرقم 7 أولي والرقم 8 مركب.

أول 10 أرقام أولية: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29. الرقم 2 هو العدد الأولي الوحيد، وجميع الأعداد الأولية الأخرى فردية.

الرقم 78 مركب، لأنه بالإضافة إلى 1 ونفسه، فهو أيضًا قابل للقسمة على 2. وعندما قسمته على 2 نحصل على 39. أي 78 = 2*39. في مثل هذه الحالات، يقولون إن العدد قد تم تحليله إلى عوامل 2 و 39.

يمكن تحليل أي رقم مركب إلى عاملين، كل منهما أكبر من 1. لن تنجح هذه الخدعة مع العدد الأولي. لذلك يذهب.

تحليل عدد إلى عوامل أولية

كما ذكرنا أعلاه، يمكن تقسيم أي رقم مركب إلى عاملين. لنأخذ على سبيل المثال الرقم 210. يمكن تحليل هذا الرقم إلى عاملين 21 و10. لكن الرقمين 21 و10 مركبان أيضًا، فلنحللهما إلى عاملين. نحصل على 10 = 2*5، 21=3*7. ونتيجة لذلك، تم تحليل الرقم 210 إلى 4 عوامل: 2،3،5،7. هذه الأعداد أولية بالفعل ولا يمكن توسيعها. أي أننا قمنا بتحليل العدد 210 إلى عوامل أولية.

عند تحليل الأعداد المركبة إلى عوامل أولية، فإنها عادة ما تكون مكتوبة بترتيب تصاعدي.

يجب أن نتذكر أن أي رقم مركب يمكن تحليله إلى عوامل أولية وبطريقة فريدة، حتى التقليب.

• عادة، عند تحليل الرقم إلى عوامل أولية، يتم استخدام معايير القسمة.

دعونا نحلل الرقم 378 إلى عوامل أولية

سنكتب الأرقام ونفصلها بخط عمودي. الرقم 378 يقبل القسمة على 2، لأنه ينتهي بـ 8. عند القسمة نحصل على الرقم 189. مجموع أرقام الرقم 189 يقبل القسمة على 3، مما يعني أن الرقم 189 نفسه يقبل القسمة على 3. النتيجة هو 63.

الرقم 63 قابل للقسمة أيضًا على 3 وفقًا لقابلية القسمة. لقد حصلنا على 21، يمكن تقسيم الرقم 21 مرة أخرى على 3، نحصل على 7. سبعة مقسوم على نفسه فقط، نحصل على واحد. وبهذا يكتمل التقسيم. على اليمين بعد السطر توجد العوامل الأولية التي يتحلل إليها الرقم 378.

378|2
189|3
63|3
21|3

هذه إحدى الطرق الأساسية لتبسيط التعبير. لتطبيق هذه الطريقة، دعونا نتذكر قانون توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع (لا تخف من هذه الكلمات، أنت بالتأكيد تعرف هذا القانون، ربما نسيت اسمه).

يقول القانون: لكي تضرب مجموع رقمين في رقم ثالث، عليك أن تضرب كل حد في هذا الرقم ثم تضيف النتائج الناتجة، بمعنى آخر، .

يمكنك أيضًا إجراء العملية العكسية، وهذه العملية العكسية هي التي تهمنا. وكما يتبين من العينة، يمكن إخراج العامل المشترك a من القوس.

يمكن إجراء عملية مماثلة مع المتغيرات، مثل و، على سبيل المثال، ومع الأرقام: .

نعم، هذا مثال أولي للغاية، تمامًا مثل المثال الذي قدمناه سابقًا، مع تحليل الأرقام، لأن الجميع يعلم أن الأرقام قابلة للقسمة على، ولكن ماذا لو حصلت على تعبير أكثر تعقيدًا:

كيف يمكنك معرفة ما هو الرقم الذي يقبل القسمة على سبيل المثال؟ لا، يمكن لأي شخص القيام بذلك باستخدام الآلة الحاسبة، ولكن بدونها يكون الأمر صعبًا؟ ولهذا هناك علامات على قابلية القسمة، فهذه العلامات تستحق المعرفة حقًا، وسوف تساعدك على فهم ما إذا كان من الممكن إخراج العامل المشترك من القوس بسرعة.

علامات قابلية القسمة

ليس من الصعب تذكرها، على الأرجح، كان معظمها مألوفًا لك بالفعل، وسيكون بعضها اكتشافًا مفيدًا جديدًا، مزيد من التفاصيل في الجدول:

ملحوظة: الجدول لا يحتوي على اختبار قابلية القسمة على 4. إذا كان آخر رقمين يقبل القسمة على 4، فإن العدد بأكمله يقبل القسمة على 4.

حسنًا ، كيف تحب الإشارة؟ أنصحك أن تتذكره!

حسنًا، لنعد إلى التعبير، ربما يمكنه إخراجه من القوس وهذا يكفي؟ لا، علماء الرياضيات يميلون إلى التبسيط، إلى أقصى حد، تحمل كل ما يمكن تحمله!

وهكذا، كل شيء واضح مع اللعبة، ولكن ماذا عن الجزء الرقمي من التعبير؟ كلا الرقمين فرديين، لذا لا يمكنك القسمة عليهما

يمكنك استخدام اختبار قابلية القسمة: مجموع الأرقام التي يتكون منها الرقم يساوي، وقابل للقسمة على، يعني قابل للقسمة على.

مع العلم بذلك، يمكنك التقسيم بأمان إلى عمود، ونتيجة للقسمة نحصل على (علامات القسمة مفيدة!). وبالتالي، يمكننا إخراج الرقم من الأقواس، تمامًا مثل y، ونتيجة لذلك نحصل على:

للتأكد من أن كل شيء قد تم توسيعه بشكل صحيح، يمكنك التحقق من التوسع عن طريق الضرب!

يمكن أيضًا التعبير عن العامل المشترك بمصطلحات القوة. هنا، على سبيل المثال، هل ترى المضاعف المشترك؟

جميع أعضاء هذا التعبير لديهم X - نخرجهم، جميعهم مقسومون على - نخرجهم مرة أخرى، انظروا إلى ما حدث: .

2. صيغ الضرب المختصرة

لقد تم بالفعل ذكر صيغ الضرب المختصرة من الناحية النظرية؛ إذا كنت تواجه صعوبة في تذكر ماهيتها، فيجب عليك تحديث ذاكرتك.

حسنًا، إذا كنت تعتبر نفسك ذكيًا جدًا وكسولًا جدًا بحيث لا يمكنك قراءة مثل هذه السحابة من المعلومات، فما عليك سوى مواصلة القراءة وإلقاء نظرة على الصيغ واتخاذ الأمثلة على الفور.

وجوهر هذا التحليل هو أن تلاحظ صيغة معينة في التعبير الذي أمامك، وتطبقها وبالتالي تحصل على حاصل ضرب شيء وشيء، هذا هو كل التحليل. فيما يلي الصيغ:

حاول الآن تحليل التعبيرات التالية باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه:

إليك ما كان ينبغي أن يحدث:

وكما لاحظت، فإن هذه الصيغ هي وسيلة فعالة جدًا للتخصيم؛ وهي ليست مناسبة دائمًا، ولكنها يمكن أن تكون مفيدة جدًا!

3. طريقة التجميع أو التجميع

إليك مثال آخر لك:

إذن ماذا ستفعل به؟ يبدو أن هناك شيئًا منقسمًا إلى وإلى، وشيء إلى وإلى

لكن لا يمكنك تقسيم كل شيء معًا إلى شيء واحد، حسنًا لا يوجد عامل مشترك هنا، مهما كان مظهرك، ما الذي يجب أن تتركه هكذا، دون تحليله إلى عوامل؟

هنا تحتاج إلى إظهار البراعة، واسم هذه البراعة هو التجميع!

يتم استخدامه على وجه التحديد عندما لا يكون لدى جميع الأعضاء قواسم مشتركة. للتجميع تحتاج العثور على مجموعات من المصطلحات التي لها عوامل مشتركةوإعادة ترتيبها بحيث يمكن الحصول على نفس العامل من كل مجموعة.

بالطبع ليس من الضروري إعادة ترتيبها ولكن هذا يعطي الوضوح ؛ من أجل الوضوح ، يمكنك وضع أجزاء فردية من التعبير بين قوسين ؛ لا يُمنع وضعها بالقدر الذي تريده ، الشيء الرئيسي هو عدم الخلط العلامات.

هل كل هذا ليس واضحا جدا؟ اسمحوا لي أن أشرح مع مثال:

في كثيرة الحدود - نضع الحد - بعد الحد - نحصل عليه

نجمع الحدين الأولين معًا في قوس منفصل ونجمع أيضًا الحدين الثالث والرابع، مع إخراج علامة الطرح من القوس، نحصل على:

الآن ننظر بشكل منفصل إلى كل من "الكدستين" اللتين قسمنا إليهما التعبير بين قوسين.

تكمن الحيلة في تقسيمها إلى أكوام يمكن إخراج العامل الأكبر منها، أو، كما في هذا المثال، حاول تجميع المصطلحات بحيث يظل لدينا نفس التعبيرات بعد إزالة العوامل من الأكوام خارج الأقواس داخل الأقواس.

ونخرج من القوسين العوامل المشتركة للمصطلحات، فمن القوس الأول، ومن القوس الثاني نحصل على:

ولكن هذا ليس التحلل!

صحماريجب أن يبقى التحلل الضرب فقط، ولكن في الوقت الحالي، تنقسم كثيرة الحدود لدينا ببساطة إلى قسمين...

لكن! هذا كثير الحدود لديه عامل مشترك. هذا

خارج القوس ونحصل على المنتج النهائي

البنغو! كما ترون، يوجد منتج بالفعل هنا وخارج الأقواس لا يوجد جمع أو طرح، لقد اكتمل التحليل، لأن ليس لدينا ما نخرجه من الأقواس.

قد يبدو من المعجزة أنه بعد إخراج العوامل من الأقواس، يتبقى لدينا تعبيرات متطابقة بين قوسين، وقد أخرجناها مرة أخرى من القوسين.

وهذه ليست معجزة على الإطلاق، فالحقيقة هي أن الأمثلة الموجودة في الكتب المدرسية وفي امتحان الدولة الموحدة مصنوعة خصيصًا بحيث تكون معظم التعبيرات في مهام التبسيط أو التخصيممع النهج الصحيح لها، يتم تبسيطها بسهولة وتنهار بشكل حاد مثل المظلة عندما تضغط على زر، لذلك ابحث عن هذا الزر بالذات في كل تعبير.

لقد تشتت انتباهي، ماذا نفعل بالتبسيط؟ اتخذت كثيرة الحدود المعقدة شكلاً أبسط: .

هل توافق على أنها ليست ضخمة كما كانت؟

4. اختيار مربع كامل.

في بعض الأحيان، لتطبيق صيغ الضرب المختصرة (كرر الموضوع)، من الضروري تحويل كثيرة الحدود الموجودة، وتقديم أحد شروطها كمجموع أو اختلاف بين فترتين.

في أي حالة يتعين عليك القيام بذلك، سوف تتعلم من المثال:

لا يمكن توسيع كثير الحدود بهذا الشكل باستخدام صيغ الضرب المختصرة، لذلك يجب تحويله. ربما في البداية لن يكون من الواضح لك أي مصطلح يجب تقسيمه إلى أي مصطلح، ولكن مع مرور الوقت سوف تتعلم أن ترى على الفور صيغ الضرب المختصرة، حتى لو لم تكن موجودة بالكامل، وسوف تحدد بسرعة ما هو مفقود من الصيغة الكاملة، ولكن الآن - تعلم أو طالب أو بالأحرى تلميذ.

للحصول على الصيغة الكاملة للفرق التربيعي، ستحتاج هنا بدلاً من ذلك. لنتخيل الحد الثالث كفرق، نحصل على: على التعبير الموجود بين قوسين، يمكنك تطبيق صيغة مربع الفرق (لا ينبغي الخلط بينه وبين اختلاف المربعات!!!)لدينا: ، على هذا التعبير يمكننا تطبيق صيغة فرق المربعات (يجب عدم الخلط بينه وبين الفرق التربيعي!!!)، تخيل كيف نحصل على: .

لا يبدو التعبير المُحلل دائمًا أبسط وأصغر مما كان عليه قبل التوسع، ولكنه يصبح في هذا الشكل أكثر مرونة، بمعنى أنه لا داعي للقلق بشأن تغيير العلامات وغيرها من الهراء الرياضي. حسنًا، لكي تقرر بنفسك، يجب تحليل التعبيرات التالية.

أمثلة:

الإجابات:​

5. تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

لتحليل ثلاثية الحدود التربيعية إلى عوامل، انظر المزيد من الأمثلة على التحلل.

أمثلة على 5 طرق لتحليل كثيرات الحدود

1. إخراج العامل المشترك من القوسين. أمثلة.

هل تتذكر ما هو قانون التوزيع؟ هذه هي القاعدة:

مثال:

عامل كثير الحدود.

حل:

مثال آخر:

عاملها.

حل:

إذا تم إخراج الحد بأكمله من الأقواس، تبقى وحدة بين قوسين بدلا من ذلك!

2. صيغ الضرب المختصرة. أمثلة.

الصيغ التي نستخدمها غالبًا هي الفرق بين المربعات والفرق بين المكعبات ومجموع المكعبات. هل تتذكر هذه الصيغ؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، كرر الموضوع على وجه السرعة!

مثال:

عامل التعبير.

حل:

في هذا التعبير من السهل معرفة الفرق بين المكعبات:

مثال:

حل:

3. طريقة التجميع. أمثلة

في بعض الأحيان يمكنك تبديل الحدود بحيث يمكن استخراج نفس العامل من كل زوج من الحدود المتجاورة. يمكن إخراج هذا العامل المشترك من القوس وسيتحول كثير الحدود الأصلي إلى منتج.

مثال:

عامل كثير الحدود.

حل:

دعونا نجمع المصطلحات على النحو التالي:
.

في المجموعة الأولى نخرج العامل المشترك من الأقواس، وفي المجموعة الثانية - :
.

الآن يمكن أيضًا إخراج العامل المشترك من الأقواس:
.

4. طريقة اختيار مربع كامل. أمثلة.

إذا كان من الممكن تمثيل كثير الحدود على أنه الفرق بين مربعي تعبيرين، فكل ما تبقى هو تطبيق صيغة الضرب المختصرة (فرق المربعات).

مثال:

عامل كثير الحدود.

حل:مثال:

\begin(صفيف)(*(35)(ل))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(مربع\ مجموع\ ((\left (x+3 \يمين))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \يمين))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \يمين)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \يمين)\left(x-1 \يمين) \\
\النهاية(صفيف)

عامل كثير الحدود.

حل:

\begin(صفيف)(*(35)(ل))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(مربع\اختلافات((\يسار(((x)^(2))-2 \يمين))^(2)))-4-1=((\يسار(((x)^ (2))-2 \يمين))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \يمين)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \يمين) \\
\النهاية(صفيف)

5. تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية. مثال.

ثلاثي الحدود المربع هو متعدد الحدود من الشكل، حيث - المجهول، - بعض الأرقام، و.

تسمى قيم المتغير التي تجعل ثلاثية الحدود التربيعية تختفي جذور ثلاثية الحدود. وبالتالي، فإن جذور ثلاثية الحدود هي جذور المعادلة التربيعية.

نظرية.

مثال:

دعونا نحلل ثلاثية الحدود التربيعية: .

أولاً، دعونا نحل المعادلة التربيعية: الآن يمكننا كتابة تحليل هذه الثلاثية التربيعية:

الان رأيك...

لقد وصفنا بالتفصيل كيف ولماذا يتم تحليل كثيرة الحدود.

لقد قدمنا ​​الكثير من الأمثلة حول كيفية القيام بذلك عمليًا، وأشرنا إلى المخاطر، وقدمنا ​​الحلول...

ماذا تقول؟

ما رأيك في هذا المقال؟ هل تستخدم هذه التقنيات؟ هل تفهم جوهرهم؟

اكتب في التعليقات و... استعد للامتحان!

حتى الآن هو الأهم في حياتك.

(باستثناء 0 و1) لها مقسومان على الأقل: 1 ونفسها. يتم استدعاء الأرقام التي ليس لها قواسم أخرى بسيطأعداد. يتم استدعاء الأرقام التي لها قواسم أخرى مركب(أو معقد) أعداد. هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. فيما يلي الأعداد الأولية التي لا تتجاوز 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

عمليه الضرب- إحدى العمليات الحسابية الأربع الأساسية، وهي عملية رياضية ثنائية يتم فيها إضافة وسيطة واحدة عدة مرات مثل الأخرى. في الحساب، الضرب هو شكل قصير لإضافة عدد محدد من الحدود المتطابقة.

على سبيل المثال، الترميز 5*3 يعني "إضافة ثلاث خمسات"، أي 5+5+5. تسمى نتيجة الضرب عمل، والأرقام المراد ضربها هي مضاعفاتأو عوامل. العامل الأول يسمى أحيانا " الضرب».

يمكن تحليل كل عدد مركب إلى عوامل أولية. وبأي طريقة، يتم الحصول على نفس التوسيع، إذا لم تأخذ في الاعتبار الترتيب الذي كتبت به العوامل.

تحليل العدد (التحليل).

التخصيم (التخصيم)- تعداد المقسومات - خوارزمية للتحليل أو اختبار بدائية الرقم من خلال التعداد الكامل لجميع المقسومات المحتملة.

وهذا يعني، بعبارات بسيطة، أن التحليل هو اسم عملية تحليل الأعداد، معبرًا عنها باللغة العلمية.

تسلسل الإجراءات عند التخصيم إلى العوامل الأولية:

1. تحقق مما إذا كان الرقم المقترح أوليًا.

2. إذا لم يكن الأمر كذلك، فبالاسترشاد بعلامات القسمة، نختار المقسوم عليه من الأعداد الأولية، بدءًا من الأصغر (2، 3، 5 ...).

3. نكرر هذا الإجراء حتى يتبين أن حاصل القسمة هو عدد أولي.

يمكن تمثيل كل رقم مركب بشكل فريد كحاصل ضرب العوامل الأولية. على سبيل المثال،

48 = 2 2 2 3، 225 = 3 3 5 5، 1050 = 2 3 5 5 7.

لأعداد صغيرةهذا التحلل سهل يتم على أساسجداول الضرب. بالنسبة للأعداد الكبيرة، نوصي باستخدام الطريقة التالية، والتي سنأخذها بعين الاعتبار باستخدام مثال محدد. لنقم بتحليل الرقم 1463 إلى عوامل أولية، وللقيام بذلك استخدم جدول الأعداد الأولية:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

نقوم بفرز الأرقام الموجودة في هذا الجدول ونتوقف عند الرقم الذي يقبل القسمة على هذا الرقم. في مثالنا هذا هو 7. اقسم 1463 على 7 لتحصل على 209. الآن نكرر عملية البحث من خلال الأعداد الأولية للرقم 209 ونتوقف عند الرقم 11، وهو المقسوم عليه (انظر). اقسم 209 على 11 واحصل على 19، وهو، وفقًا لنفس الجدول، عدد أولي. هكذا، لدينا:

يمكن تحليل أي عدد طبيعي إلى حاصل ضرب عوامل أولية. إذا كنت لا تحب التعامل مع أعداد كبيرة، مثل 5733، تعلم كيفية تحليلها إلى عوامل أولية (في هذه الحالة، 3 × 3 × 7 × 7 × 13). غالبًا ما تتم مواجهة مشكلة مماثلة في التشفير الذي يتعامل مع مشكلات أمن المعلومات. إذا لم تكن مستعدًا بعد لإنشاء نظام آمن خاص بك بريد إلكترونيتعلم أولاً كيفية تحليل الأعداد إلى عوامل أولية.

خطوات

الجزء 1

1. ابدأ بالرقم الأصلي.اختر رقمًا مركبًا أكبر من 3. لا فائدة من أخذ رقم أولي، لأنه يقبل القسمة على نفسه وعلى الواحد فقط.

   • مثال: دعونا نحلل العدد 24 إلى حاصل ضرب الأعداد الأولية.

2. دعونا تتحلل رقم معيننتاج عاملين.دعونا نجد رقمين أصغر منهما يساوي حاصل ضربهما الرقم الأصلي. يمكنك استخدام أي عوامل، ولكن من الأسهل استخدام الأعداد الأولية. واحد من طرق جيدةيتكون من محاولة قسمة الرقم الأصلي أولاً على 2، ثم على 3، ثم على 5 والتحقق من أي من هذه الأعداد الأولية يقبل القسمة عليه دون باقي.

   • مثال: إذا كنت لا تعرف عوامل الرقم 24، فحاول تقسيمه إلى أعداد أولية صغيرة. لذلك ستجد أن الرقم المحدد يقبل القسمة على 2: 24 = 2 × 12. هذه بداية جيدة.
   • بما أن 2 هو عدد أولي، فمن الجيد استخدامه عند تحليل الأعداد الزوجية.

3. ابدأ في بناء شجرة المضاعفة الخاصة بك.سيساعدك هذا الإجراء البسيط على تحليل العدد إلى عوامله الأولية. للبدء، ارسم "فرعين" للأسفل من الرقم الأصلي. في نهاية كل فرع اكتب العوامل التي وجدتها.

   • مثال:

4. عامل سلسلة الأرقام التالية.ألقِ نظرة على الرقمين الجديدين (الصف الثاني من شجرة العوامل). هل كلاهما أعداد أولية؟ إذا لم يكن أحدهما أوليًا، فقم أيضًا بتحليله إلى اثنين. ارسم فرعين آخرين واكتب عاملين جديدين على السطر الثالث من الشجرة.

   • مثال: 12 ليس عددًا أوليًا، لذا يجب تحليله. نستخدم المفكوك 12 = 2 × 6 ونكتبه في السطر الثالث من الشجرة:
   • 2 × 6

5. استمر في النزول إلى الشجرة.إذا تبين أن أحد العوامل الجديدة هو عدد أولي، فارسم "فرعًا" واحدًا منه واكتب نفس الرقم في نهايته. لا تدخل الأعداد الأولية في أعداد أصغر، لذا فقط قم بتحريكها إلى مستوى أدنى.

   • مثال: 2 هو عدد أولي. فقط انقل الرقم 2 من السطر الثاني إلى السطر الثالث:
   • 2 2 6

6. استمر في تحليل الأعداد حتى يتبقى لديك أعداد أولية فقط.تحقق من كل سطر جديد من الشجرة. إذا لم يكن أي من العوامل الجديدة عددًا أوليًا، قم بتحليله واكتب سطرًا جديدًا. في النهاية سوف يتبقى لك أرقام أولية فقط.

   • مثال: 6 ليس عددًا أوليًا، لذا يجب تحليله أيضًا. وفي الوقت نفسه، 2 هو عدد أولي، ونحن نحمل الرقمين إلى المستوى التالي:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. اكتب السطر الأخير كحاصل ضرب العوامل الأولية.في النهاية سوف يتبقى لك أرقام أولية فقط. عندما يحدث هذا، اكتمال التحليل. السطر الأخير عبارة عن مجموعة من الأعداد الأولية، وحاصل ضربها يعطي الرقم الأصلي.

   • تحقق من إجابتك: اضرب الأرقام الموجودة في السطر الأخير. يجب أن تكون النتيجة الرقم الأصلي.
   • مثال: يحتوي الصف الأخير من شجرة العوامل على الرقمين 2 و3. كلا هذين الرقمين أوليان، لذا اكتمل التحليل. وبذلك يكون تحليل العدد 24 إلى عوامل أولية كما يلي: 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
   • ترتيب العوامل لا يهم. يمكن أيضًا كتابة التوسيع بالشكل 2 × 3 × 2 × 2.

8. بسّط إجابتك، إذا رغبت في ذلك، باستخدام رمز القوة.إذا كنت معتادًا على رفع الأعداد إلى القوى، يمكنك كتابة الإجابة بشكل أبسط. تذكر أن الأساس مكتوب في الأسفل، والرقم المرتفع يوضح عدد المرات التي يجب فيها ضرب الأساس في نفسه.

   • مثال: كم مرة ظهر الرقم 2 في التحلل الموجود 2×2×2×3؟ ثلاث مرات، لذا يمكن كتابة التعبير 2 x 2 x 2 بالشكل 2 3 . في تدوين مبسط نحصل عليه 2 3 × 3.

   الجزء 2

   باستخدام التحليل الأولي

   1. العثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين.القاسم المشترك الأكبر (GCD) لعددين هو الحد الأقصى للرقم الذي يقسم كلا الرقمين دون ترك باقي. يوضح المثال أدناه كيفية استخدام التحليل الأولي لإيجاد العامل المشترك الأكبر للرقمين 30 و36.

      • دعونا نحول كلا الرقمين إلى عوامل أولية. بالنسبة للرقم 30، يكون التوسع 2 × 3 × 5. ويتم تحليل الرقم 36 على النحو التالي: 2 × 2 × 3 × 3.
      • لنبحث عن الرقم الذي يظهر في كلا التوسعتين. فلنشطب هذا الرقم في كلتا القائمتين ونكتبه في سطر جديد. على سبيل المثال، 2 يحدث في توسعتين، لذلك نكتب 2 على خط جديد. هذا يترك لنا 30 = 2 × 3 × 5 و 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
      • كرر هذا الإجراء حتى لا يتبقى أي عوامل مشتركة في التوسعات. تحتوي كلتا القائمتين أيضًا على الرقم 3، لذا يمكنك الكتابة في سطر جديد 2 و 3 . بعد ذلك، قارن التوسعات مرة أخرى: 30 = 2 × 3 × 5 و 36 = 2 × 2 × 3 × 3. وكما ترون، لا توجد عوامل مشتركة متبقية فيهما.
      • لإيجاد العامل المشترك الأكبر، عليك إيجاد حاصل ضرب جميع العوامل المشتركة. في مثالنا هو 2 و 3، لذا فإن GCD هو 2 × 3 = 6 . هذا هو أكبر عدد يمكن تقسيمه إلى 30 و36 دون ترك باقي.

   2. باستخدام GCD يمكنك تبسيط الكسور.إذا كنت تشك في إمكانية تبسيط الكسر، فاستخدم العامل المشترك الأكبر. باستخدام الإجراء الموضح أعلاه، ابحث عن GCD للبسط والمقام. ثم قم بتقسيم بسط ومقام الكسر على هذا الرقم. ونتيجة لذلك، سوف تحصل على نفس الكسر في شكل أبسط.

      • على سبيل المثال، لنبسط الكسر 30/36. كما ذكرنا أعلاه، بالنسبة للعددين 30 و36، يكون gcd هو 6، لذلك نقسم البسط والمقام على 6:
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. دعونا نجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين.المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين هو أصغر رقم يقبل القسمة على كلا الرقمين المحددين دون ترك باقي. على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر لـ 2 و3 هو 6 لأنه أصغر رقم يقبل القسمة على 2 و3. فيما يلي مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي:

      • لنبدأ بعاملين رئيسيين. على سبيل المثال، بالنسبة للرقم 126، يمكن كتابة التحليل على الصورة 2 × 3 × 3 × 7. ويتم تحليل الرقم 84 على الصورة 2 × 2 × 3 × 7.
      • دعونا نقارن عدد المرات التي يظهر فيها كل عامل في التوسعات. حدد القائمة التي يظهر فيها المضاعف الحد الأقصى لعدد المرات وقم بوضع دائرة حولها. على سبيل المثال، يظهر الرقم 2 مرة واحدة في القائمة مقابل 126 ومرتين في القائمة مقابل 84، لذا يجب عليك وضع دائرة 2 × 2في القائمة الثانية من المضاعفات.
      • كرر هذه الخطوة لكل مضاعف. على سبيل المثال، الرقم 3 يظهر بشكل متكرر في التوسعة الأولى، لذا يجب عليك وضع دائرة حوله 3 × 3. يظهر الرقم 7 مرة واحدة في كلتا القائمتين، لذا ضع دائرة 7 (لا يهم في أي قائمة، إذا ظهر مضاعف معين في كلتا القائمتين بنفس عدد المرات).
      • للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، اضرب جميع الأرقام المحاطة بدائرة. في مثالنا، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 126 و84 هو 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 252. هذا هو أصغر عدد يقبل القسمة على 126 و 84 بدون باقي.

   4. استخدم LCM لإضافة الكسور.عند إضافة كسرين، تحتاج إلى إحضارهما إلى قاسم مشترك. للقيام بذلك، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر لمقامين. ثم اضرب البسط والمقام لكل كسر بهذا الرقم بحيث تصبح مقامات الكسور مساوية للمضاعف المشترك الأصغر. بعد ذلك يمكنك إضافة الكسور.

      • على سبيل المثال، تحتاج إلى العثور على المبلغ 1/6 + 4/21.
      • باستخدام الطريقة المذكورة أعلاه، يمكنك العثور على المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 و21. وهو يساوي 42.
      • لنقم بتحويل الكسر 1/6 بحيث يكون مقامه 42. للقيام بذلك، عليك قسمة 42 على 6: 42 ÷ 6 = 7. الآن اضرب بسط ومقام الكسر بـ 7: 1/6 x 7/7 = 7/42.
      • لتقريب الكسر الثاني إلى المقام 42، اقسم 42 على 21: 42 ÷ 21 = 2. اضرب بسط ومقام الكسر في 2: 4 / 21 × 2 / 2 = 8 / 42.
      • بمجرد أن يكون للكسور نفس المقام، يمكن إضافتها بسهولة: 7/42 + 8/42 = 15/42.